突破最难最值——2022年徐州市中考数学第28题
压轴题中的最值类问题，较为普遍地出现在全国各地中考试题里，解决这一类问题，基本上两条路径：一是几何角度，二是函数角度，前者需要的预备知识包括但不限于“两点之间，线段最短”、“垂线段最短”、点与圆的位置关系等，后者主要是用到二次函数顶点式、完全平方公式等。
2022年徐州中考数学压轴题，延续了2021年、2019年的难度，不太好想，对于学生理解这类问题提出了较高要求。
题目
如图，在△ABC中，∠BAC=90°，AB=AC=12，点P在边AB上，D、E分别为BC、PC的中点，连接DE，过点E作BC的垂线，与BC、AC分别相交于F、G两点，连接DG，交PC于点H.
(1)∠EDC的度数为__________°；
(2)连接PG，求△APG的面积的最大值；
(3)PE与DG存在怎样的位置关系和数量关系？请说明理由；
(4)求CH:CE的最大值.
解析：
(1)△ABC是等腰直角三角形，∠B=45°，由D、E分别为BC、PC的中点，可以得到DE是△BCP的中位线，于是DE∥BP，∠EDC=∠B=45°；
(2)源动点是P点，于是设AP=x，将AG用含x的代数式表示，再求面积最值，这是基本思路；
由FG⊥BC，可得另外两个等腰直角三角形，分别是△DEF和△CFG，注意它们的边长间数量关系，斜边是直角边的√2倍；
BP=12-x，由中位线定理可DE=6-1/2x，得DF=3√2-√2/4x，求出CF=3√2+√2/4x，于是CG=6+1/2x，最后得到AG=6-1/2x；
然后用含x的代数式表示△APG的面积为S=-1/4(x-6)2+9，所以最大面积为9；
(3)方法一：由于点E为PC中点，所以PE=CE，现在观察CE和DG，它们分别位于△CEF和△GDF中，我们来证明它们全等：由等腰Rt△CFG得CF=GF，由等腰Rt△DEF得到EF=DF，再加上两个直角，因此△CEF≌△GDF，于是CE=DG，最后得到PE=DG，数量关系得已证明，然后找它们的位置关系，依然由这一对全等三角形，∠ECF=∠DGF，而∠ECF+∠CEF=90°，且∠CEF=∠GEH，于是∠DGF+∠GEH=90°，即∠GHE=90°，于是PE⊥DG；
方法二：连接AD，可得它是△ABC中的“三线合一”，再取BP中点K，如下图：
我们在前一小题中得到了BK=AG=6-1/2x，再加上BD=AD，∠B=∠DAG=45°，可证明△BDK≌△ADG，于是DK=DG，再由中位线得到DK=PE，于是PE=DG，这一对全等三角形还可得到∠BDK=∠ADG，而∠BDK+∠ADK=90°，于是∠ADG+∠ADK=90°，即∠KDG=90°，于是DG⊥DK，而DK∥PE，所以DG⊥PE；
(4)作为本题难点，我们首先从代数角度来思考：
CH:CE比值中，线段CE是线段CP的一半，不妨设CH:CE=k，则CH:CP=k/2，图中可以发现△CGH∽△CPA，得比例线段为CH:CA=CG:CP，其中CG=6+1/2x，CA=12，可得CH=(72+6x)/CP，代入CH:CP=k/2中，推导如下：
基本上，面对这么个分式，求最值完全没有头绪，下面我们来寻找突破：
分子可以写成12(x+12)，分母似乎是(x+12)2，但缺少一次项，我们补上，分母可变形为(x+12)2-24x，推导如下：
在上述求最值的过程中，我们用到了完全平方公式(a-b)2≥0，展开后得a2+b2≥2ab，特别是当a与b互为倒数时，这个不等式更特别；
既然是有学习帐号和密码，那么也就是说并不是只有学生本人可以登陆，万一学员没有时间完成的话，一般学习中心都是有教务老师负责学习的。还有一种情况，如果有学员没有时间上课和学习，通常学习中心对所有学员的学习托管的，因为需要让所有学员两年半顺利毕业，在最大程度上避免其他的因素的影响。
然后我们从几何角度思考：
点P是动点，点E、H在线段CP上随之运动，在整个运动过程中，我们已经知道了PE与DG间的位置关系，即∠DHC=90°始终成立，考虑到CD是定长，所以容易想到点H的运动路径是以CD为直径的半圆上，然后我们用最直接的方法——作平行线来构造线段比CH:CE，过点H作HM∥DE，如下图：
非全日制学历没有认可度这是对于“非全日制学历”最为普遍的看法，但这个说法是不对的!通过成考拿到的学历证书是企业认可，学信网可查的证书，认可度并不低。02企业不接受非全日制学历现如今，明文规定：企业不允许有学历歧视存在，全日制和非全日制学历需要同等对待，企业招聘更多是看你的最高学历，而不是学历的取得方式，并且越来越多的企业更是将职工的继续教育纳入发展战略之中，这句话也就不攻自破。
CH:CE=CM:CD，注意CD为定长6√2，所以这个比值大小取决于线段CM，这样将线段比值最值问题转化为线段最值问题了，我们可以利用点H所在的圆来解决；
取CD中点O，连接OH并延长交AB于点N，如下图：
错过等一年！而且，成考也是择优录取的，并不是过了省控线就一定有学上！过了省控线后可以投档，但是各个学校、专业还有自己的投档线，学校越好专业越热门，分数线就越高。你的分数排名较靠后，可能就录取不了了！所以，在2023年想参加成考还是要好好备考的，努力使自己的排名靠前些，自己的选择机会也多一点。
国家开放大学改革2022年4月11日，国家开放大学发函关于采集考试人脸识别身份核验照片的通知。此通知意味着以后“无需考试、交钱拿证”的学历提升方式也将一去不复返。以后所有学生都需要按照正规严格的学习考试流程去完成学业办理毕业，参加线下或者线上组织的每学期考试任务要求，全方位实行人脸识别考试。
我们又得到一组比例线段，OM:OB=OH:ON，可得OM=OB×OH/ON，其中OB=9√2，OH=3√2，则OM=54/ON，当ON最短时，OM取最大值，对于线段ON，端点O为定点，端点N在AB上，根据“垂线段最短”可知当ON⊥AB时，ON最短，此时可求得ON=9，则可求得OM=6，CM=6+3√2，现在可以求这个最大比值了，CH:CE=CM:CD=(6+3√2)/6√2=(√2+1)/2；
解题反思：
本题的前三个小题均可视为最后一小题的阶梯，所以前面探讨出来的结论，有一部分是可以继续使用的，最难想到的最值求解，用代数法和几何法均不容易，这不禁令人回忆起在最初滓完全平方公式的时候，对于(a-b)2≥0有没有继续深究下去，当然未必在学习新课时进行，这显然超过课标要求范围，但是在章节复习或阶段复习时，作为拓展延伸是可行的。
用几何法求最值时，我们最常用的两个定理是“两点之间，线段最短”和“垂线段最短”，要牢记这两个定理使用的基础条件，前者的两个点，是两个定点，当其中一个点在运动时，显然定理并不好使，而后者也需要一个定点和定直线，所以我们发现点N在AB上，且点O为一点时，使用垂线段最短是突破口，而其中圆的作用则是进行等量转换。
由此反思我们的课堂教学，对于每一个概念、定理的挖掘要足够，由于课堂容量限制，不太可能将每一处发散都照顾到，但要留有余地，或者说未来新知识的接口，通过课堂上设置情景问题，将这些基础知识融汇贯通，正是教学设计的精妙之处。
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